4.3 Mutually exclusive and independent events

1. 互斥事件（Mutually Exclusive Events）

互斥事件是指不可能同时发生的事件，即两个事件无共同结果。

关键特征：

• 维恩图中曲线不重叠，无交集区域
• \( P(A \cap B) = 0 \)
• 概率加法规则：\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
• 如果A发生，B必不发生：\( P(A \text{ but not } B) = P(A) \)

2. 独立事件（Independent Events）

独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率的事件。

关键特征：

• 概率乘法规则：\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
• 判断方法：验证 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
• 可能同时发生，但概率不受影响

3. 互斥与独立的区别

互斥事件：不可能同时发生，交集概率为0

独立事件：可能同时发生，但发生概率相互不影响

关键区别：

• 互斥事件：\( P(A \cap B) = 0 \)，一定是相依事件
• 独立事件：\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)，可能同时发生

1. 互斥事件应用技巧

识别互斥事件：

• 同一实验中互斥的结果
• 不可能同时发生的事件
• 维恩图中无重叠区域

常见例子：

• 抛硬币：正面或反面
• 掷骰子：奇数或偶数
• 抽扑克牌：红桃或黑桃

2. 独立事件应用技巧

识别独立事件：

• 不同实验的结果
• 无因果关系的事件
• 发生概率不受影响

常见例子：

• 连续抛两枚硬币
• 从两副牌中抽牌
• 不同学生的考试成绩

3. 复合事件概率计算

互斥复合事件：

• 多个互斥事件的并集概率等于各事件概率之和
• 如：掷骰子出现1、2、3的概率

独立复合事件：

• 多个独立事件的交集概率等于各事件概率之积
• 如：连续成功抛硬币两次的概率

互斥事件与独立事件的关键要点

1. 概念区分：互斥强调不可能同时发生，独立强调概率不影响

2. 规则选择：互斥用加法规则，独立用乘法规则

3. 验证必要：不要想当然，要通过计算验证

4. 实际分析：结合实际情境判断事件关系

5. 复合应用：复杂问题可能需要结合两种规则